第7章

作者:刘以林、于笑然 | TXT小说下载 | 返回目录:7章/1237章 | 上一节 | 下一节

      从煤的角度，每天可以生产甲产品
      12÷2＝6（吨）
      从电的角度，每天可以生产甲产品
      20÷6＝3．33（吨）
      综合考虑，每天能生产 3．33 吨甲产品，净收入为：
      3．33×4＝13．32（千元）
      这时每天会有剩余的煤
      12-3．33×2＝5．34（吨）
      工厂对上述两种安排都不满意，因为这两种方案煤和电力资源都没有充
      分利用。有人认为，如果每天只生产 2 吨乙产品，则消耗煤 10 吨、电 8 度，
      收入 12000 元。省下了 2 吨煤，可生产 1 吨甲产品（同时耗电 6 度），可再
      增加收入 4000 元。这两种产品一起可收入 16000 元，比前面只安排一种产品
      生产的两个方案的赢利都多。除此之外，其实还可以试探其他方案，但试探
      的方法过于繁琐。
      实际上，用线性规划模型可以解决这一类各因素成比例关系的生产安排
      问题。对于上述只生产两种产品，消耗两种资源的问题，因为因素少，可以
      用简单的作图法来解决；对于涉及因素众多的线性规划问题，要用所谓的“单
      纯形法”来求最优解；对于大型工厂、地区、部门，相关因素可能成百上千，
      这时就要借助于电子计算机来求解了。通过图形法或单纯形法解决上述工厂
      的问题时，可以得出：每天安排生产甲产品 2．36 吨，乙产品 1．45 吨，可得
      到最大收入 18180 元。
      还有一类问题也可以用线性规划模型来解决。例如有甲、乙、丙、丁 4
      个糖果厂，生产同一种水果糖供给 A、B、C、D4 个商店零售。若已知 4 个工
      厂的产量，4 个商店的需要量，而且还知道每个工厂运给每个商店 1 吨水果
      糖的运费是多少，又叫运输问题，是实际工作中会经常遇到的问题。这些问
      题，都可以用线性规划模型来解决。
      
              如何才能赚最多的钱
      
               ——整数规划模型
      
       一个汽车队，有甲、乙两种汽车。甲汽车每辆可装体积为 1 立方米的货
      物，载重量为 5 吨，可收入 500 元。乙种汽车每辆每次可装体积为 1 立方米
      的货物，载重量为 9 吨，可收入 800 元。由于值班司机人数、汽油燃料等条
      件的限制，每次车队派车运货体积总计不能超过 6 立方米，载重量不能超过
      45 吨。问题是每次安排甲、乙车各多少辆，才能既满足限制条件，又取得最
      多的收入？
       我们想一想这个问题，会发现两种汽车装载货物的体积、重量与汽车的
      数量是成比例关系的，而车队的收入也是与车辆数目成比例关系的。因此，
      用线性规划模型可以解决这一问题。应用图解法或单纯形法，可以计算出结
      果，每次应派甲种车 2．25 辆，乙种车 3．75 辆，总收入为：
       5×2．25＋8×3．75＝41．25（百元）
       现在新的问题又来了，这种安排是不可能实行的。2．25 辆甲种车怎么
      派？要么是 2 辆、要么是 3 辆，谁也不可能派出不是整数的车。乙种车也是
      同样要派出整数。像这种要求得到整数结果的线性规划模型通常被称做整数
      规划模型。
       可不可以集零为整？如果把小数点后面的第一位数四舍五入，即甲种车
      派 2 辆，乙种车派 4 辆，这是不是上面整数规划模型的最优结果呢？通过计
      算会发现该结果超过了限制条件：2 辆甲车装载 10 吨，4 辆乙车可装载 36
      吨，合计可装载 46 吨，但规定不能超过 45 吨。如果把小数点后的数字舍掉，
      就不会超出限制条件了，但这样的结果是不是符合最优要求呢？再来计算一
      下，每次甲种车派 2 辆，乙种车派 3 辆，总收入为：
       500×2＋800×3＝3400（元）
       这种情况下，每次派车运货的体积总量为：
       1×2＋1×3＝5（立方米）
       每次派车运货的载重量总计为：
       5×2＋9×3＝37（吨）
       可以看出还有 1 立方米体积和 8 吨载重量没有利用，还可再增加一辆甲
      种车，即 3 辆甲种车，这时收益为：
       500×3＋800×3＝3900（元）
       从而我们知道，四舍五入和去掉小数点后面的尾数化零为整的方法都不
      能求出整数规划模型的最优结果。
       有人建议将条件允许的派车方案都列举出来，一一进行计算、比较，就
      可以找到最优结果。
       对于上面汽车队的派车的问题，要计算 25 种方案。如果因素增加，解决
      整数规划模型的方案就可能成百上千，不仅计算复杂，光列举这些方案就会
      令人头晕眼花。
       那该怎么办呢？现在，科学家已找到了一种解决整数规划问题的方法，
      叫做“分支定界法”。这种方法首先是找到相对应的线性规划问题的最优结
      果，这个结果是整数规划的界限（例如上述汽车队派车问题，相对应的线性
      规划的最大收入是 4125 元，整数规划的结果一定不会超过 4125 元）。然后
      
      作出判断并进行计算，如果线性规划求出的结果恰恰是整数，这时可以认为
      已找到答案。如果线性规划求出的因素中有非整数结果，如 2．25 辆车，就要
      设法分别在限制条件内把各非整数因素化整，求出结果，进行比较，最后找
      到整数规划的最优结果。对于上面派车问题，可以找到的结果是，不派甲种
      车，派乙种车 5 辆，可以得到最高收入：
      5×0＋8×5＝40（百元）
      在实际系统中，存在许多因素，它们一定要用整数值来表示，如机器台
      数、人数、火车车厢数目、集装箱数、工厂个数、商店家数以及在某地是不
      是建工厂，建不建商店、学校、车站等等，这些数值都不能有分数（如建，
      可用 1 表示；若不建，用 0 表示）。涉及这些因素的线性规划模型，都要用
      整数规划来解决，用分支定界法等方法求出最优结果。
      分派问题也是另一类广泛应用的整数规划问题。例如学校周末劳动，有
      四项工作（给树木花草浇水、打扫教室、修理桌椅、出黑板报）要分配 4 位
      同学去完成。这 4 位同学中，不同的人对不同的工作所用时间不一样。有人
      力气大，浇水快；有人写字娴熟，出黑板报花的时间少。安排得好，4 位同
      学总计花费的时间就会最少。还有分派不同的工人到不同的车间去工作，不
      同的轮船按不同的航线航行，不同的飞机去不同的城市等，都是属于分派问
      题。
      
            系统工程的妙用
      
               植树问题
      
      某班长带领 60 位同学上山去值树，主要的工作有 3 项：挖坑、运树苗、
      挑水浇树。根据情况得知：用 20 或 20 以上的人挖坑，需要 20 分钟；用 20
      或 20 以上的人运树苗，需要 15 分钟；用 20 或 20 以上的人挑水浇树，需 30
      分钟。这样，便会有 5 种安排：
      第 1 种，可以在一项工作完成以后，再进行第二项工作，最后进行第三
      项，这样总计要花 65 分钟时间；
      第 2 种是在挖坑的同时派人去运树苗，在完成挖坑工作以后再组织人力
      挑水，这样需要 50 分钟；
      第 3 种是在挖坑的同时就派人去挑水，在挑完水后再去运树苗，这样需
      要 45 分钟；
      第 4 种是在挖坑的同时就派人去挑水，在挖完坑后又派人去运树苗，这
      样只需花 35 分钟；
      第 5 种安排是 3 项工作同时开始，那么，总共只需要 30 分钟就可以完成
      任务了。
      很显然，在人力、工具等条件都允许的情况下，第 5 种安排最省时间，
      其他安排费时间多，会出现“窝工”现象。
      同样，对于一个生产汽车的工厂，厂长一定会安排不同的车间（分厂），
      分别生产汽车的发动机、轮胎、底盘、外壳、仪表、座椅、车灯、电器等零
      部件，最后进行总体装配，一辆辆崭新、漂亮、别致的汽车就会从流水作业
      线上徐徐开出来。任何一位厂长都不会安排先生产一种零部件，完成后再生
      产第二种，一直到最后一种零部件制造出来后，再去一一组装。这样，无疑
      要浪费许多时间，没有生产效率。
      建筑队要盖一幢楼房，一定要打地基，运砖瓦石、水泥、钢材等建筑材
      料，砌砖，安门窗，装水管和下水道，粉刷墙面等，如果安排不当，就会出
      现窝工现象。
      生活中也有许多例子，需要人们开动脑筋巧妙安排。